Seminar zur Algebraischen Zahlentheorie ("Brauergruppen")

Thema

In der klassischen Algebra werden Körper studiert. Verzichtet man auf die Kommutativität der Multiplikation, so handelt es sich um Schiefkörper. Beispielsweise gibt es über dem Körper R der reellen Zahlen genau einen endlich-dimensionalen nichtkommutativen Schiefkörper, nämlich den Hamilton’schen Quaternionenschiefkörper H. Dieses Beispiel stellt den Anfang unseres Seminars dar.

Wie sieht es aus, wenn wir den Körper R durch einen beliebigen Körper K ersetzen? Um diese Frage zu beantworten, wird die Brauergruppe Br(K) eingeführt. Im ersten Teil des Seminars werden wir diese auf klassische Weise definieren, nämlich als Äquivalenzklassen von endlich-dimensionalen zentral einfachen Algebren über K. Wir werden sehen, dass die zentralen Schiefkörper über K genau diesen Äquivalenzklassen entsprechen, und dass es ein Analogon zum Struktursatz für Vektorräume über Körpern gibt, nämlich dass sich die Struktur von Moduln über solchen Algebren relativ einfach beschreiben lässt. Gegen Ende des Seminars werfen wir nochmal einen modernen Blick auf die Brauergruppe und zeigen, dass man diese durch Gruppenkohomologie interpretierrn kann (und welche Vorteile dieser Blick für die Theorie hat).